Pengertian Matriks

Pengertian matriks adalah kumpulan bilangan (atau unsur) yang disusun menurut baris dan kolom tertentu. Bilangan-bilangan yang disusun tersebut dinamakan eleme-elemen atau komponen-komponen matriks. Nama sebuah matriks biasanya dinyatakan dengan huruf kapital. Dalam sebuah matriks ada istilah ordo. Yang dimaksud dengan ordo atau ukuran matriks adalah banyaknya baris x banyak kolom dalam sebuah matriks.

Contoh :

Matriks A di atas terdiri dari 3 baris dan 4 kolom. Sobat bisa mengatakan matriks A berordo 3 x 4 atau   di  tulis A(3×4).

Matriks banyak dimanfaatkan untuk menyelesaikan berbagai permasalahan matematika misalnya dalam menemukan solusi masalah persamaan linear, transformasi linear yakni bentuk umum dari fungsi linear contohnya rotasi dalam 3 dimensi. Matriks juga seperti variabel biasa, sehingga matrikspun dapat dimanipulasi misalnya dikalikan, dijumlah, dikurangkan, serta didekomposisikan. Menggunakan representasi matriks, perhitungan dapat dilakukan dengan lebih terstruktur.

Jenis Matrik

1. BerdasarkanOrdo

• • Matriks bujur sangkar adalah matriks yang banyak barisnya sama dengan banyak kolomnya
  • Matriks baris adalah matriks yang terdiri dari satu baris
  • Matriks kolom adalah matriks yang terdiri dari satu kolom.
  • Matriks tegak adalah suatu matriks yang banyaknya baris lebih dari banyaknya kolom.
  • Matriks datar adalah matriks yang banyaknya baris kurang dari banyaknya kolom.

2. BerdasarkanElemen-Elemen Penyusunnya

• • Matriks nol adalah matriks yang semua elemennya bernilai NOL
  • Matriks diagonal adalah matriks bujur sangkar yang semua elemen di luar diagonal utama adalah nol
  • Matriks segi tiga atas adalah matriks bujur sangkar yang elemen-elemen di bawah diagonal utamanya (kiri atas ke kanan bawah) bernilai nol
  • Matriks sembarang adalah matriks yang tidak punya aturan – aturan khusus seperti di atas (seluruh elemennya adalah bebas).
  • Matriks segitiga bawah adalah kebalikan dari segitiga atas, matriks ini berbentuk bujur sangkar yang elemen-elemen di atas diagonal utamanya bernilai nol.
  • Matriks skalar adalah matriks yang elemen-elemen pada lajur diagonalnya bernilai sama.
  • Matriks identitas adalah matriks skalar yang elemen-elemen diagonal utamanya bernilai 1
  • Matriks simetri adalah  suatu matriks bujur sangkar yang unsur pada baris ke-i kolom ke-j  sama dengan unsur pada baris ke-j kolom ke-i sehingga aij = aji .

Transpose Matriks

Transpose matriks A adalah matriks baru yang diperoleh dengan  mengubah baris menjadi kolom matriks mula – mula, atau sebaliknya. Transpose matriks A dinotasikan A^T atau A^t .

InversMatriks

Suatu matriks dapat dibalik jika dan hanya jika matriks tersebut adalah matriks persegi (matriks yang berukuran n x n) dan matriks tersebut non-singular (determinan 0). Tidak semua matriks memiliki invers. Invers matriks dapat didefinisikan sebagai berikut.

“Jika A adalah suatu matriks kuadrat, dan jika kita dapat mencari matriks B sehingga AB = BA = I, maka A dikatakan dapat dibalik (invertible) dan B dinamakan invers dari”

Determinan Matriks

Determinan adalah suatu fungsi tertentu yang menghubungkan suatu bilangan real dengan suatu matriks bujur sangkar.

Sebagai contoh, kita ambil matriks A_2×2

A = untuk mencari determinan matrik A maka, detA = ad – bc

Penjumlahan Matriks

Penjumlahan matriks hanya dapat dilakukan terhadap matriks-matriks yang mempunyai ukuran (orde) yang sama. Jika A=(aij) dan B=(bij) adalah matriks-matriks berukuran sama, maka A+B adalah suatu matriks C=(cij) dimana (cij) = (aij)+(bij) atau [A]+[B] = [C] mempunyai ukuran yang sama dan elemennya (cij) = (aij) + (bij)

Pengurangan Matriks

Sama seperti pada penjumlahan matriks, pengurangan matriks hanya dapat dilakukan pada matriks-matriks yang mempunyai ukuran yang sama. Jika ukurannya berbeda maka matriks hasil tidak terdefinisikan.

Perkalian Matriks dengan Skalar

Jika k adalah suatu bilangan skalar dan A=(aij) maka matriks kA(kaij) yaitu suatu matriks kA yang diperoleh dengan mengalikan semua elemen matriks A dengan k. Mengalikan matriks dengan skalar dapat dituliskan di depan atau dibelakang matriks. Misalnya [C]=k[A]=[A]k dan (c_ij ) = (ka_ij ). Pada perkalian matriks dengan skalar berlaku hukum distributif dimana k(A+B)=kA+kB,

Perkalian Matriks dengan Matriks

Beberapa hal yang perlu diperhatikan:

1. Perkalian matriks dengan matriks umumnya tidak komutatif
2. Syarat perkalian adalah jumlah banyaknya kolom pertama matriks sama dengan jumlah banyaknya baris matriks kedua
3. Jika matriks A berukuran mxp dan matriks pxn maka perkalian A*B adalah suatu matriks C=(cij) berukuran mxn dimana

Beberapa Hukum Perkalian Matriks:

1. Hukum Distributif, A*(B+C) = AB + AC
2. Hukum Assosiatif, A*(B*C) = (A*B)*C
3. Tidak Komutatif A*B ¹ B*A
4. Jika A*B = 0, maka beberapa kemungkinan
   1. A = 0 dan B = 0
   2. A = 0 atau B = 0
   3. A  ¹0 dan B  ¹0
5. Bila A*B = A*C, belum tentu B = C