Logika matematika adalah cabang ilmu matematika yang mempelajari tentang bagaimana mengambil suatu kesimpulan dari kondisi tertentu. Logika matematika juga merupakan acuan berpikir yang digunakan dalam bidang-bidang lain, seperti ilmu komputer, filsafat, dan linguistik. Memahami logika matematika dapat membantu kita untuk melatih berpikir logis, kritis, dan rasional .
A. Pernyataan
Pernyataan adalah kalimat yang bisa dibuktikan kebenarannya. Pernyataan bisa bernilai benar atau salah, tetapi tidak bisa keduanya. Contoh pernyataan yang bernilai benar adalah “2 + 2 = 4”, sedangkan contoh pernyataan yang bernilai salah adalah “5 > 7”. Pernyataan bisa dibedakan menjadi pernyataan tunggal dan majemuk.
Pernyataan Tunggal
Pernyataan tunggal adalah pernyataan yang hanya terdiri dari satu kalimat. Contoh pernyataan tunggal adalah “Jakarta adalah ibu kota Indonesia” atau “Bumi adalah planet terdekat dengan Matahari”. Pernyataan tunggal bisa disangkal atau dibantah dengan menggunakan ingkaran atau negasi. Ingkaran atau negasi adalah penyangkalan atas pernyataan. Contoh ingkaran atau negasi dari pernyataan “Jakarta adalah ibu kota Indonesia” adalah “Jakarta bukan ibu kota Indonesia” atau “Bukan Jakarta yang merupakan ibu kota Indonesia”. Ingkaran atau negasi dari suatu pernyataan akan memiliki nilai kebenaran yang berlawanan dengan pernyataan aslinya.
Pernyataan Majemuk
Pernyataan majemuk adalah pernyataan yang terdiri dari dua atau lebih pernyataan tunggal yang dihubungkan oleh kata penghubung. Kata penghubung yang sering digunakan dalam logika matematika adalah “dan”, “atau”, “jika … maka …”, dan “jika dan hanya jika …”. Jenis-jenis pernyataan majemuk berdasarkan kata penghubungnya adalah konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi.
Konjungsi
Konjungsi adalah pernyataan majemuk yang dihubungkan oleh kata “dan”. Konjungsi akan bernilai benar jika dan hanya jika semua pernyataan tunggal yang menyusunnya bernilai benar. Contoh konjungsi adalah “Hari ini cerah dan hangat” atau “Saya suka matematika dan fisika”. Konjungsi dari dua pernyataan tunggal p dan q biasanya ditulis sebagai p ∧ q.
Disjungsi
Disjungsi adalah pernyataan majemuk yang dihubungkan oleh kata “atau”. Disjungsi akan bernilai benar jika salah satu atau lebih pernyataan tunggal yang menyusunnya bernilai benar. Contoh disjungsi adalah “Saya akan belajar atau bermain” atau “Dia pintar atau rajin”. Disjungsi dari dua pernyataan tunggal p dan q biasanya ditulis sebagai p ∨ q.
Implikasi
Implikasi adalah pernyataan majemuk yang dihubungkan oleh kata “jika … maka …”. Implikasi akan bernilai benar kecuali jika pernyataan setelah kata “jika” bernilai benar tetapi pernyataan setelah kata “maka” bernilai salah. Contoh implikasi adalah “Jika saya lulus ujian, maka saya akan mendapat hadiah” atau “Jika dia suka kamu, maka dia akan menunjukkan tanda-tanda tertentu”. Implikasi dari dua pernyataan tunggal p dan q biasanya ditulis sebagai p → q.
Biimplikasi
Biimplikasi adalah pernyataan majemuk yang dihubungkan oleh kata “jika dan hanya jika …”. Biimplikasi akan bernilai benar jika dan hanya jika kedua pernyataan tunggal yang menyusunnya memiliki nilai kebenaran yang sama. Contoh biimplikasi adalah “Saya akan bahagia jika dan hanya jika saya sehat” atau “Dia adalah teman baikku jika dan hanya jika dia selalu jujur padaku”. Biimplikasi dari dua pernyataan tunggal p dan q biasanya ditulis sebagai p ↔ q.
Pernyataan Berkuantor
Pernyataan berkuantor adalah pernyataan yang mengandung variabel dan kuantor. Variabel adalah simbol yang mewakili suatu objek atau nilai yang tidak pasti. Kuantor adalah kata yang menunjukkan jumlah atau batas dari variabel. Jenis-jenis kuantor yang sering digunakan dalam logika matematika adalah kuantor universal dan kuantor eksistensial.
Kuantor Universal
Kuantor universal adalah kuantor yang menyatakan bahwa suatu pernyataan berlaku untuk semua objek atau nilai dalam suatu himpunan. Kuantor universal biasanya ditulis dengan simbol ∀ (untuk semua). Contoh pernyataan berkuantor universal adalah “Untuk semua bilangan bulat x, x + 0 = x” atau “Untuk semua manusia y, y membutuhkan makanan”.
Kuantor Eksistensial
Kuantor eksistensial adalah kuantor yang menyatakan bahwa suatu pernyataan berlaku untuk setidaknya satu objek atau nilai dalam suatu himpunan. Kuantor eksistensial biasanya ditulis dengan simbol ∃ (ada). Contoh pernyataan berkuantor eksistensial adalah “Ada bilangan prima yang lebih besar dari 100” atau “Ada bunga yang berwarna biru”.
B. Penarikan Kesimpulan
Penarikan kesimpulan adalah proses menentukan kebenaran suatu pernyataan berdasarkan pernyataan lain yang diketahui kebenarannya. Penarikan kesimpulan bisa dilakukan dengan menggunakan aturan-aturan logika yang telah disepakati. Jenis-jenis penarikan kesimpulan yang sering digunakan dalam logika matematika adalah silogisme, modus ponens, dan modus tollens.
Silogisme
Silogisme adalah penarikan kesimpulan yang terdiri dari tiga pernyataan, yaitu dua premis dan satu kesimpulan. Premis adalah pernyataan yang dianggap benar dan digunakan sebagai dasar untuk menarik kesimpulan. Kesimpulan adalah pernyataan yang dihasilkan dari premis-premis. Contoh silogisme adalah:
- Premis 1: Semua manusia adalah makhluk hidup.
- Premis 2: Saya adalah manusia.
- Kesimpulan: Saya adalah makhluk hidup.
Modus Ponens
Modus ponens adalah penarikan kesimpulan yang menggunakan implikasi sebagai salah satu premisnya. Modus ponens berbentuk:
- Premis 1: Jika p, maka q.
- Premis 2: p.
- Kesimpulan: q.
Contoh modus ponens adalah:
- Premis 1: Jika hujan, maka jalan basah.
- Premis 2: Hujan.
- Kesimpulan: Jalan basah.
Modus Tollens
Modus tollens adalah penarikan kesimpulan yang menggunakan implikasi sebagai salah satu premisnya dan ingkaran sebagai premis lainnya. Modus tollens berbentuk:
- Premis 1: Jika p, maka q.
- Premis 2: Bukan q.
- Kesimpulan: Bukan p.
Contoh modus tollens adalah:
- Premis 1: Jika dia lulus ujian, maka dia akan mendapat hadiah.
- Premis 2: Dia tidak mendapat hadiah.
- Kesimpulan: Dia tidak lulus ujian.